Ebenenschar


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Aufgabe 1 Winkel “Ebene-Koordinatenebene”

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Für die Winkelberechnung zwischen 2 Ebenen gilt

\( \quad cos(\alpha) = \dfrac{\bigl| \vec{n_1} \circ \vec{n_2} \bigl|} {\bigl| \vec{n_1} \bigl| \cdot \bigl| \vec{n_2} \bigl|} \)

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Für den Normalenvektor \(\vec{n_1}\) nehmen wir den Normalenvektor der Ebene

\( \quad E_t: t \cdot x_1 + t \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 - 4 \cdot t = 0 \)

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mit

\( \quad \vec{n_1} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

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Als Vektor \(\vec{n_2}\) wählen wir einen Vektor, der orthogonal zu der \(x_1 x_2\)-Ebene verläuft, wie etwa

\( \quad \vec{n_2} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

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und bekommen die Gleichung

\( \quad \begin{align} cos(60^\circ) & = \tfrac{ \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} t \\ t \\ -4 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} } \\[12pt] \tfrac{1}{2} & = \tfrac{\bigl| t \cdot 0 + t \cdot 0 + (-4) \cdot 1 \bigl| }{ \sqrt{ t^2 + t^2 + (-4)^2 }} \cdot \sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2 } & \\[12pt] \tfrac{1}{2} & = \tfrac{\bigl| -4 \bigl| }{\sqrt{ 2t^2 + 16 }} && \bigl| \; \cdot \sqrt{2t^2 + 16} \\[12pt] \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2t^2 + 16} & = 4 && \bigl| \;\cdot 2 \\[12pt] \sqrt{2t^2 + 16} & =8 && \bigl| \; (\dotsb )^2 \\[12pt] 2t^2 + 16 &= 64 && \bigl| \;-16 \\[12pt] 2t^2 & = 48 && \bigl| \; :2 \\[12pt] t^2 & = 24 && \bigl| \; \sqrt{\ldots} \\[12pt] t_1 & = 2 \sqrt{6} \\[12pt] t_1 & \approx 4{,}899 \\[12pt] t_2 & = -2\sqrt{6} \\[12pt] t_2 & \approx -4{,}899 \\[12pt] \end{align} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Schnittfigur

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Auf der Ebene \(E_t\) befinden sich immer die Punkte \(A\), \(C\) und \(P_t\). Dabei befindet sich \(P_t\) immer auf der Geraden \(h\). Verlängern wir nun die Strecke \(\overline{AQ_t}\) bis sie auf die Gerade \(h\) trifft, so erhalten wir \(P_t\). Dabei entsteht ein Dreieck, dass parallel zur \(x_2 x_3\)-Ebene liegt. \(t\) ist die Höhe des Punktes \(P_t\). Das heißt, dass \(t\) die Entfernung von \(B\) nach \(P_t\) ist. Zwei Kästchen sind eine Einheit und wir bekommen \(t=6\). Analog dazu könnte man auch das Dreieck \(BCP_t\) nehmen.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Volumen des Teilkörpers

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Der Teilkörper, der \(B\) enthält, ist ein Pyramidenstumpf. Das Volumen kann berechnet werden, indem man von der großen Pyramide mit der Grundfläche \(ABC\) und der Spitze \(P_t\) die kleine Pyramide gepunktet dargestellt abzieht.

Das Volumen einer Pyramide hat die Formel

\( \quad V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \)

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Für die Höhe der großen Pyramide nehmen wir \(t=6\) und die Grundfläche \(G\) berechen wir mit

\( \quad G_g = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{BC}}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8 \text{ FE} \)

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und erhalten

\( \quad V_g = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 6 = 16 \text{ VE} \)

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Die kleine Pyramide hat die Höhe \(h_k=3\) und jeweils die Seitenlänge der Grundfläche von 2 LE.

\( \quad V_k = \frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2} \cdot 3 = 2 \text{ VE} \)

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Der Pyramidenstumpf hat also das Volumen

\( \quad V = V_g - V_k = 16 - 2 = 14 \text{ VE} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 Schnittfigur als Dreieck

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Für alle Schnittfiguren sind die Punkte \(A\) und \(C\) in ihr enthalten. \(P_t\) liegt immer auf der Geraden \(h\). Oberhalb vom Punkt \(F\) würde ein Trapez entstehen. Liegt \(P_t\) im Punkt \(B\), also mit \(t=0\), so entstehen keine zwei Teilkörper. Liegt \(P_t\) im Punkt \(F\), so gilt \(t=3\). Damit eine Dreiecksfläche, hier mit \(t=2{,}5\) verdeutlicht, entsteht, muss gelten, dass \(0 < t \leq 3\) ist.

Wie ist es nun, wenn \(t\) negative Werte annimmt? Auch dann sind entstehende Dreieckflächen möglich, nämlich als dritten Eckpunkt der Punkt \(H\) oder unterhalb davon auf der \(x_3\)-Achse. Es gilt, da die Strecke \(\overline{AC}\) die Bodenfläche des Quader in genau zwei gleiche Hälfte teilt, \(-3 < t \leq 0\).

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